高斯-克吕格投影和横轴墨卡托(UTM)投影的异同

2014-08-15 09:48:34    来源:

摘要:介绍在工程测量中使用的2 个主要投影的原理和方法,特别在国外测量中常使用的UTM 投影和国内常用的高斯投 影之间的关系,以及2 个投影的异同。结合UTM 投影在缅甸工程测量中的应用,分析
孙立东
(中交第一航务工程勘察设计院有限公司,天津300222)
 
    随着国内外测量工程的逐渐增多,涉及到投影转换中的许多问题也就逐渐增多,国内工程测量中使用的大都是高斯投影,去年缅甸中石油南亚油码头工程测量中使用的是UTM 投影。由于此投影在国内使用接触较少, 使用过程中曾有不少困惑,感觉很有必要对这2 个投影做一个比较和说明,希望遇到同样的问题时能有所帮助。
 
1 高斯-克吕格投影

    高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影,是一种“等角横切圆柱投影”,为德国数学家、物理学家、天文学家高斯(Carl Friedrich Gauss)于19 世纪20 年代拟定,德国大地测量学家克吕格(Johannes Kruger)于1912年对投影公式加以补充。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线, 按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件, 将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面,然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平,即获高斯-克吕格投影平面。
    高斯-克吕格投影后, 除中央经线和赤道为直线外,其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形, 在长度和面积上变形也很小,中央经线无变形,自中央经线向投影带边缘变形逐渐增加,变形最大处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高,变形小,而且计算简便(各投影带坐标一致,只要算出一个带的数据,其他各带都能应用),因此在大比例尺地形图中应用,可以满足军事上各种需要,并能在图上进行精确的量测计算。
    按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差, 又要使带数不致过多以减少换带计算工作, 据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6°或3°分为6°带或3°带。6°带自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带,带号依次编为第1,2…60 带。3°带是在6°带的基础上分成的,它的中央子午线与6°带的中央子午线和分带子午线重合,即自1.5°子午线起每隔经差3°自西向东分带,带号依次编为3°带第1,2…120 带。
    我国大于等于50 万的大中比例尺地形图多采用6°带高斯-克吕格投影,3°带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图, 如城建坐标多采用3°带的高斯-克吕格投影。
 
2 UTM 投影[1]
    UTM 投影全称为“通用横轴墨卡托投影(UniversalTransverse Mercator Projection)”。从几何意义上来看,UTM 投影属于横轴等角割椭圆柱投影。椭圆柱割地球于南纬80°、北纬84°的2 条等高圈,投影后2 条相割上没有变形, 而中央经线上长度比为0.999 6。它的平面直角坐标系和高斯投影相同,且和高斯投影有一个简单的比例关系,因此UTM 投影也称其k0=0.999 6 的高斯投影。该投影于1938 年由美国军事测绘局提出,1945 年开始采用。与高斯-克
    吕格投影相似,该投影角度没有变形,中央经线为直线,且为投影的对称轴,2 条割线(在赤道上,位于离中央子午线大约±180 km 处)上没有长度变形,离开这2 条割线愈远变形愈大; 在2 条割线以内长度变形为负值;在2 条割线之外长度变形为正值
    由于有以上优点,在众多改进的高斯投影中,UTM 投影被许多国家和地区采用, 作为大地测量和地形测量的投影基础。
    UTM 投影分带方法与高斯-克吕格投影相似,是自西经180°起每隔经差6°自西向东分带,将地球划分为60 个投影带。


3 高斯-克吕格投影与UTM 投影异同

    高斯-克吕格投影与UTM 投影都是横轴墨卡托投影的变种,从投影几何方式看,高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”,投影后中央经线保持长度不变,即比例因子为1;UTM 投影是“等角横轴割圆柱投影”,圆柱割地球于南纬80°、北纬84°的2 条等高圈,投影后2 条割线上没有变形,中央经线上长度比0.999 6。从计算结果看,两者主要差别在比例因子上, 高斯-克吕格投影中央经线上的比例因子为1, UTM 投影为0.999 6。

    在实际工作应用中,2 投影可近似采用XUTM=0.999 6 × X 高斯,YUTM=0.999 6 × Y 高斯,进行坐标转换比对。其中,XUTM,YUTM分别为UTM 投影的X,Y 坐标;X 高斯,Y 高斯分别为高斯投影的X,Y 坐标。
    坐标转换比对时, 需注意: 如果坐标纵轴西移500 000 m,转换时必须将Y 值减去500 000 m 乘上比例因子后再加上500 000 m。
    缅甸中石油南亚油码头工程中, 控制测量采用仪器是中海达公司的HD6000 型RTK GPS 接收机,以静态测量的方法,对各个控制点进行测量。静态数据解算中选择的投影方式为UTM 投影,比例因子为0.999 6。
    静态解算完成后,为进一步验证其解算的结果,使用国内所使用的日产TOPCON 全站仪,对GPS 静态测量控制点进行检校。其中的2 个控制点FD01,FD02 之间的实测距离为477.754 m, 而GPS 所测距离为477.577 m,GPS 测量的距离和全站仪测量的距离之比近似为0.999 6,从而印证了UTM 投影和高斯投影之间的这种关系。
    从分带方式看,两者的分带起点不同,高斯-克吕格投影自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带,第1 带的中央经度为3°;UTM 投影自西经180°起每隔经差6° 自西向东分带, 第1 带的中央经度为-177°,因此高斯-克吕格投影的第1 带是UTM 投影的第31 带。此外,2 投影的东偏移都是500 km,高斯-克吕格投影北偏移为零,UTM 北半球投影北偏移为零,南半球则为10 000 km。
需要注意的是,使用不同椭球参数时,即使是同一点,它们的投影坐标值也是不同的,不要给实际应用时带来问题。

4 高斯-克吕格投影与UTM 投影正反解公式
 
    4.1 高斯-克吕格投影正解公式
    原点纬度0,中央经度L0,大地坐标(B,L)→平面直角坐标(X,Y),其表达式为
    4.2 UTM 投影正解公式
    原点纬度0,中央经度L0,大地坐标(B,L)→平面直角坐标(X,Y),其转换公式为
    式(2)中东纬偏移FE= 500 000 m ;北纬偏移FN 北半球= 0,FN 南半球= 10 000 000 m;UTM 投影比例因子k0 = 0.999 6,其它参数同高斯-克吕格投影正解公式。
    4.3 高斯-克吕格投影反解公式
    原点纬度0,中央经度L0,平面直角坐标(X,Y)→大地坐标(B,L)

    式(3)中其它参数均同高斯-克吕格投影正解公式。
    4.4 UTM 投影反解公式
    原点纬度0,中央经度L0,平面直角坐标(X,Y)→大地坐标(B,L),其表达式为
    式(4)中Nf,Rf,Bf,e1,φ,Mf,Tf,Cf,D 等参数同高斯-克吕格投影反解公式,其它参数同高斯-克吕格投影正解公式。
    工程测量中还有很多其他的投影, 如兰勃特等角投影, 在双标准纬线下是一“等角正轴割圆锥投影”,由德国数学家兰勃特(J.H.Lambert)在1772 年拟定。目前应用较少,在此不同赘述。

5 结语
 
    高斯投影和UTM 投影中比例因子的关系十分重要, 使用国内传统测量方式在国外施工时要特别注意,小范围的测量施工不易发现,很可能归结到控制点精度不高的上面来, 而对于大范围的测量工作就会带来重大错误。

参考文献:
[1] 孔祥元,梅是义.控制测量学[M].武汉:武汉测绘科技大学出版社,1996.
[2] 孙达,蒲英霞.地图投影[M].南京:南京大学出版社,2005.

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